O comando para instalar o eclipse, como é dentro dos repositórios do apt-get, é o seguinte:
sudo apt-get install eclipse
Depois de fazer isso, ele solicita uma senha. A senha é para a conta de administrador da sua máquina. Você é o administrador da sua máquina? Se a sua conta é a única conta na sua máquina, então você seria o administrador, desde que você tenha configurado o Ubuntu.
Se não estiver, talvez seja necessário que seu administrador instale o Eclipse para você. Se você é o administrador da sua máquina e ainda está com problemas, você deve seguir o tópico Eliah fornecido.