php7.0-sqlite3 é o pacote que fornece os plug-ins do PHP para suporte ao banco de dados SQLite3.
php-sqlite3 é um meta-pacote que puxa php7.0-sqlite3 (no Xenial). Parte da migração foi que é mais fácil apenas definir uma dependência em php-sqlite3 ou similar, então se formos para php7.1 ou algo assim, e um pacote dependerá apenas de php-sqlite3 , ele puxará automaticamente a versão correta. Isso também facilita a instalação de scripts e usuários para instalar apenas php-sqlite3 em vez de ter que memorizar qual versão numérica do PHP está em uso (ou pior, codificar a versão a ser usada).