O problema era com o roteador que eu estava usando: o roteador sem fio D-Link DIR-600. Eu tentei usar o nosso antigo roteador com fio, atualizado jDownloader e funcionou. Não sei quais são as configurações do meu roteador sem fio que bloqueiam a atualização, já que as configurações são todas padrão, exceto para proteger o acesso à rede.
Além disso, atualizei minha versão do Java de 6 para 7. Não tenho certeza se ela contribuiu, de modo que estou incluindo essa parte também, já que fiz isso ao tentar encontrar uma solução.