Se você esperar até as 00:00 UTC (aproximadamente 50 minutos), poderá pegar a versão mais recente do Ubuntu, pois ela será lançada então. O lançamento de Tomorrow (16.04) é uma versão LTS (Long-Term Support), o que significa que será suportado pela Canonical e pelo AskUbuntu por um longo tempo.
Para instalá-lo, você precisa de um DVD ou um pen drive. Você deve usar um pendrive que tenha pelo menos 4 GB. Baixe o Ubuntu ISO do site (16.04 não será mostrado até que ele seja liberado) e grave-o no pendrive usando Rufus . Não siga as instruções no site do Ubuntu. O programa sugerido é terrível.
No instalador, você deve eventualmente ser solicitado com algumas opções sobre como deseja instalar o Ubuntu. Escolha a opção parecida com Erase Hard Drive and Install Ubuntu para fazer exatamente o que diz. Deixe o Ubuntu instalar, desconecte a unidade USB quando terminar e reinicie o Ubuntu.
Lembre-se, o Ubuntu é mais do que um pouco diferente do Windows, mas existem inúmeros tutoriais online e nós do AskUbuntu estamos (principalmente) aqui para ajudar. Quando você faz uma pergunta, certifique-se de que ela seja clara e detalhada. Também faça sua pesquisa antes de fazer uma pergunta, pois ela já pode ser respondida. As perguntas que você pode encontrar sobre versões relativamente recentes do Ubuntu (eu diria 14.04 e acima) devem ser recentes o suficiente para funcionar para 16.04.
Boa sorte e feliz Ubuntu!
EDITAR:
Como algumas pessoas apontaram, existem alternativas mais leves ao Ubuntu normal. Se o seu computador não estiver rodando muito bem, pode ser uma boa idéia testar o Lubuntu ou o Xubuntu.