Falando de forma muito geral (e apenas olhando muito brevemente nas instruções às quais você se vinculou), você quer executar o tomcat como um usuário não-root. Isso é tanto mais seguro & amp; mais conveniente (já que você não precisa fazer tudo como root).
Mas isso também significa que o tomcat terá que ser executado em uma porta mais alta (por exemplo, 8080 ou algo semelhante). E para atender as solicitações do cliente na porta mais comum 80, você executa o Apache na porta 80 na frente do Tomcat (que as instruções também descrevem) e o Apache se conecta ao tomcat via mod_jk em outra porta (por exemplo, 8009 (http) ou 8443 (https) ou algo parecido).
Agora, para instalar aplicativos Java no Tomcat, apenas chown / chmod no diretório tomcat para que seu "usuário da web" (possivelmente sua própria conta de usuário não root) possa gravar nele. Por exemplo,
$ sudo mkdir /opt/tomcat
E, em seguida, normalmente chown (ou apenas chmod):
$ sudo chown my_user:my_group /opt/tomcat
Agora, faça tudo como uma conta não-root e não é necessário sudo. Pode ainda ser uma boa ideia ter uma conta "web-admin" semi-restrita se este for um servidor compartilhado, em vez de usar o seu próprio login.