É claro que se você não iniciar o seu PC Ubuntu, nenhuma solução para o Ubuntu funcionará para você, como se você não ligasse o seu carro, isso não o ajudaria a trabalhar.
Agora que esclarecemos essa confusão, se você estiver usando o IMAP em ambos os dispositivos, a resposta é aqui deve funcionar sem problema como sempre que o Thunderbird é iniciado, ele verifica o estado de sincronização entre o repositório de mensagens do Thunderbird e o servidor de e-mail e executa as transferências necessárias (como baixar novas mensagens do servidor, excluir do servidor quaisquer mensagens que tenham sido excluído localmente , etc). O Thunderbird sincroniza continuamente com o servidor de email desde que esteja em execução e tenha acesso à Internet. Se o acesso à Internet for perdido, o Thunderbird sincronizará quando o acesso for restabelecido.
Se você está procurando uma solução que não exija o Ubuntu, você está procurando uma solução para o Android e você deve perguntar aqui.
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