Não faça login como tal. Em vez disso, da sua máquina local, execute
ssh user@server mv /path/to/source /path/to/dest
Isso deve permitir que você contorne o problema.
Em uma nota mais geral, eu acredito que você está sendo um pouco paranóico aqui. Definir o tempo ocioso para 5 minutos e, em seguida, enfrentando esse tipo de problema parece bobo. Basta configurá-lo para algo mais longo e evitar o problema.
Quanto à sua primeira pergunta, mv
excluirá somente os arquivos de origem se a cópia foi bem-sucedida. Conforme explicado em info mv
(ênfase minha):
Primeiro, usa alguns dos mesmos códigos usados por 'cp -a' para copiar os diretórios e arquivos solicitados, então ( assumindo a cópia sucedeu ) remove os originais. Se a cópia falhar, então a parte que foi copiado para a partição de destino é removido . Se você fosse para copiar três diretórios de uma partição para outra e a cópia de o primeiro diretório foi bem-sucedido, mas o segundo não, o primeiro ser deixado na partição de destino e o segundo e terceiro seria à esquerda na partição original.