Você pode configurar um cliente de e-mail para baixar todo o conteúdo da conta, incluindo os e-mails enviados, se você configurar o acesso IMAP. As configurações a seguir funcionam para mim no Thunderbird, embora você provavelmente possa usar qualquer cliente de e-mail padrão de sua preferência.
Server:
imap.googlemail.com
orimap.gmail.com
Port: 993
Security: SSL/TLS
Authentication: Normal Password
Depois de fazer o download do conteúdo da caixa de entrada, você poderá salvar e fazer backup do conteúdo dessa caixa de correio usando o recurso apropriado no cliente de email.
Você também deseja verificar as Configurações- > Etiquetas e garantir que todas as etiquetas tenham "Mostrar no IMAP" selecionado (por padrão, os bate-papos não são).
Boa sorte para você e desculpe pela sua perda.