No que diz respeito a um cliente padrão 802.11 (Wi-Fi), o mesmo SSID significa que é a mesma rede. É assim que você configura redes sem fio multi-AP que permitem roaming entre os APs; você configura todos para publicar o mesmo SSID, para que os clientes saibam que esses APs fazem parte da mesma rede e os clientes podem se movimentar entre eles conforme necessário.
Algumas implementações de clientes tentam ser inteligentes sobre o possível problema que você gerou (vizinhos que usam SSIDs padrão não exclusivos), mas você não deve presumir que todos os clientes irão lidar com isso de maneira elegante e segura.
Ter o WPA2-PSK ativado em seu AP garantirá que os clientes do seu vizinho não possam entrar em seu AP, mas não impedirá que eles tentem (e possivelmente causem eventos de erro de autenticação no log do sistema do seu roteador). By the way, WPA2-PSK não requer o AP ou o cliente para revelar a senha para os outros dispositivos; isso seria extremamente manco. Os esquemas de autenticação modernos usam truques matemáticos que permitem que cada extremidade prove ao outro que eles sabem alguma coisa, sem revelar a um impostor ou a um interceptador o que eles sabem.
Ter o WPA2-PSK em seu próprio AP não necessariamente impedirá que seus clientes tentem se associar à mesma rede SSID do seu vizinho. Seus clientes podem solicitar uma nova senha para a rede caso eles tentem acidentalmente entrar no AP do vizinho, e a associação falhar por causa da senha incorreta. Se o seu vizinho desativar a segurança em sua rede, seus clientes poderão participar com sucesso sem avisar. Isto é, eu vi clientes 802.11 que eram suscetíveis a ataques de downgrade de segurança, onde só porque eles sabiam uma senha WPA2-PSK para um dado SSID, não significavam que eles se sentiam compelidos a sempre exigir que a rede usasse o WPA2- PSK; se eles vissem o mesmo SSID sem segurança, eles poderiam se juntar a ele e não se incomodar com a segurança. É claro que isso é um comportamento inseguro e cheio de bugs, e espero que os testes de certificação Wi-Fi da Wi-Fi Alliance garantam que os dispositivos que passam pela certificação não façam isso, mas você nunca sabe.