Docker é o nome da plataforma aberta para desenvolvedores e administradores de sistemas criarem, enviarem e executarem aplicativos distribuídos. O Docker.io, por outro lado, é o nome do pacote que você instala no seu sistema operacional Linux (ou seja, Ubuntu). Veja este link aqui .
Em termos de como funciona, o Docker Engine consiste em duas partes: um daemon, um processo de servidor que gerencia todos os contêineres e um cliente, que atua como um controle remoto para o daemon. Eu sugeriria que você tentasse uma demonstração rápida em seu site, localizada aqui .
Do ponto de vista da usabilidade, você invoca o cliente do Docker sempre que usar o comando docker
.