Além das outras respostas técnicas / conceituais dadas, que são perfeitas, vou dar um exemplo para ilustrar a necessidade de uma VPN:
Imagine que você precisa de dois computadores para se conectar na mesma LAN por algum motivo, por exemplo, você usa o software em seu laptop de trabalho que precisa acessar o servidor da empresa por meio da LAN para verificar a licença.
Todos os dias você vai ao escritório, conecta o laptop à LAN e usa esse software. Até agora tudo bem.
Agora suponha que um dia você quer, desculpe, você precisa trabalhar em casa, então você não vai ao escritório naquele dia. Agora, suponha que você realmente precisava fazer algum trabalho, você inicia o aplicativo e "bang" Erro: não é possível acessar o servidor de licenças! Entre em contato com o administrador, Bill (aquele geek do departamento de TI), você encontrará no número de telefone 555-2347276, ele conhece essas coisas (seria ótimo ter uma mensagem legal, certo?).
Lá, você precisa de uma VPN para conectar seu laptop em casa, através da Internet, à LAN do seu local de trabalho, para poder acessar o servidor e executar seus aplicativos como se estivesse no escritório.