Existem dois problemas aqui:
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A maneira que o Process Explorer assume o Gerenciador de Tarefas é adicionando um valor de registro:
Opções de Execução de Arquivos de Imagem HKEY_LOCAL_MACHINE \ SOFTWARE \ Microsoft \ Windows NT \ CurrentVersion \ taskmgr.exe \ Debugger
Isso significa que sempre que você iniciar um executável chamado 'taskmgr.exe', inicie o que estiver especificado nesse valor. Portanto, mover o gerenciador de tarefas para um diretório diferente não funciona.
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Renomeando taskmgr.exe para outra coisa parece quebrar algo no Gerenciador de Tarefas. Isso porque você vê uma janela vazia. Aquilo é um comportamento bastante estranho, normalmente não é problema para renomear um executável.
O gerenciador de tarefas renomeado se comporta de maneira estranha. Mesmo se iniciado a partir de um nível de integridade médio, ele é executado automaticamente em um nível de integridade alto e não pode ser eliminado mesmo com privilégios do sistema local.
Por enquanto, não vejo uma maneira de ter o Process Explorer como gerenciador de tarefas padrão e ser capaz de executar o gerenciador de tarefas ao mesmo tempo.
A solução alternativa não é tão ruim:
No Process Explorer, desmarque 'Options - Replace Task Manager', então execute 'taskmgr.exe' e marque 'Options - Replace Task Manager' novamente.
Como alternativa, você pode criar um arquivo em lote que remova essa configuração de registro, inicie o gerenciador de tarefas e coloque a configuração novamente em:
reg.exe delete "HKLM\SOFTWARE\Microsoft\Windows NT\CurrentVersion\Image File Execution Options\taskmgr.exe" /v Debugger /f
start taskmgr.exe
reg.exe add "HKLM\SOFTWARE\Microsoft\Windows NT\CurrentVersion\Image File Execution Options\taskmgr.exe" /v Debugger /t REG_SZ /d "C:\PATHTO\PROCEXP.EXE" /f
O único problema com esse lote é que você precisa executá-lo como um administrador elevado, portanto, ao criar um atalho para ele, especifique para executá-lo como administrador. Como usuário normal, você não pode alterar essas configurações do registro.