O Universal Clipboard faz parte do conjunto de recursos do Continuity, especificamente um sub-recurso do Handoff. A única maneira de desativá-lo é desabilitar totalmente o Handoff.
Mac: vá para Preferências do sistema > Geral > desmarque Permitir entrega
iPhone: vá para Configurações > Geral > Handoff > desmarque Handoff
Os dados não viajam para os servidores da Apple ou mesmo pela Internet. Os dispositivos anunciam a disponibilidade entre eles via Bluetooth e os dados são transmitidos via Wi-Fi, mas apenas na rede local.