Você pode usar o Dropbox e atualizar o arquivo profiles.ini para apontar para a pasta de perfil no seu Dropbox.
Windows: ~/AppData/Roaming/Thunderbird/
Mac: ~/Library/Thunderbird/
Linux: ~/.thunderbird/
Consulte os Perfis do Thunderbird para obter mais informações sobre como encontrar seu perfil.
Depois de copiá-lo para o Dropbox, abra o arquivo profiles.ini que está localizado na mesma pasta e atualize o Path para apontar para o novo local:
[General]
StartWithLastProfile=1
[Profile0]
Name=default
IsRelative=1
Path=../../Dropbox/Thunderbird.profile
Você pode mudar o nome da pasta para o que quiser. Não sei ao certo como os espaços são manipulados, por isso você terá que experimentar se gostar de espaços em seus nomes.
Veja Mover um perfil para mais informações e uma advertência se você deseja usar caminhos absolutos em vez de relativos.