Mais pesquisas no Google levaram-me a uma chave de registro que parece controlar o processo de atualização.
A máquina que estava tentando atualizar tinha esses valores:
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows\CurrentVersion\WindowsUpdate\OSUpgrade]
"KickoffDownload"=dword:00000001
"KickoffSource"=dword:00000000
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows\CurrentVersion\WindowsUpdate\OSUpgrade\State]
"OSUpgradeState"=dword:0000000e
"OSUpgradeStateTimeStamp"="2015-08-04 15:59:55"
"OSUpgradePhase"=dword:00000002
Outra máquina com o Windows 7, onde eu removi o KB3035583 antes do Windows 10 (e bloqueava a atualização com sucesso), tinha esses valores:
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows\CurrentVersion\WindowsUpdate\OSUpgrade]
[HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\Microsoft\Windows\CurrentVersion\WindowsUpdate\OSUpgrade\State]
"OSUpgradeState"=dword:00000001
"OSUpgradeStateTimeStamp"="2015-07-28 10:09:55"
Eu atualizei o registro na máquina de "atualização" para coincidir com o registro da máquina "bloqueada" e, em seguida, reiniciei a máquina.
Além disso, graças ao comentário do @Ramhound, encontrei uma pasta oculta $ Windows. ~ BT com 5.1GB de conteúdo. Executei a Limpeza de Disco e removi "Arquivos de instalação temporários do Windows". Essa pasta está desaparecida.
Veremos se isso bloqueia a atualização com sucesso.
Atualização 7 de agosto de 2015
A máquina parou de tentar atualizar para o Windows 10, portanto, a alteração do registro deve ter funcionado. Os valores que defini há dois dias não mudaram.