CrystalDiskInfo exibirá essas informações, bem como todos os outros S.M.A.R.T. dados se o computador suportar. É grátis, confira.
Se isso não for capaz de extrair o número de série, eu verificaria as configurações da BIOS e verificaria se você tem S.M.A.R.T. ativado.
Se isso não for uma opção, diria ao Google as especificações do modelo do computador para ver se há uma atualização do BIOS que ofereça suporte, caso contrário, o computador é muito antigo e você terá que abrir a máquina.