As regras do Outlook só podem ser executadas automaticamente ao receber um email e ao enviar. Também é limitado o número de campos aos quais ele pode ler para tomar uma decisão. É possível criar uma regra que escolha todos os e-mails com um sinalizador de acompanhamento, mas não parece possível separá-los dependendo de qual data eles tenham.
Existe uma outra maneira, no entanto. Você pode não precisar mover o email. Você pode criar Pastas de Pesquisa que contêm todos os emails com uma data de vencimento específica. Você poderia, por exemplo, criar as pastas "Due today", "Due tomorrow", "Due next week". Se é isso que você gostaria de fazer, tente isto:
OpteporcriarumapastadepesquisapersonalizadaecliqueemCritérios.EscolhaaguiaAvançadoeescolhaocampo"Data de vencimento" no submenu Tarefa. Você pode selecionar condições, como datas relativas ("Amanhã") ou datas absolutas. Por fim, nomeie sua pasta de pesquisa adequadamente.