A pista está na pergunta: nome do domínio. Para que isso seja resolvido, você precisará ter um servidor local que resolva isso para você, em vez de passar a solicitação para a Internet.
Opção 1: Configure um servidor DNS local usado por todos os seus computadores. Este servidor DNS tem uma entrada para o seu Pi, para que quaisquer pedidos para o seu nome de domínio / nome do host resultem na procura de um IP local. Quaisquer outras solicitações são passadas no upstream.
Opção 2: Se o seu roteador / gateway (supondo que você tem um) suportá-lo, você pode ter que agir como o servidor DNS mencionado na Opção 1.
Opção 3: Você pode editar o arquivo hosts para incluir uma entrada para o seu Pi. Isso terá que ser feito em todos os outros computadores da rede que quiserem fazer a mesma pesquisa também.
Era uma vez eu fiz Opção 1 eu mesmo. Eu já tinha um servidor web com DNS rodando nele, então era simples simplesmente adicionar outra entrada. Atualmente estou usando a opção 3.
PS: Também pode haver outras alternativas específicas de plataforma disponíveis.