Acabei de ter exatamente o mesmo problema em um antigo laptop XP usando um usuário padrão. Eu entrei como administrador e consegui acessar sites https.
Eu então tentei baixar um recurso https na linha de comando e recebi uma mensagem de que algo estava errado com o certificado. Então eu abri a loja de certificados do Windows, eu tenho um erro lá:
Unable to open Root certificate store. Cannot find object or property.
Esse erro pode ocorrer quando o serviço de janelas 'Serviços de criptografia' não está em execução. E na verdade eu desliguei isso em algum momento no passado. Iniciá-lo e definir a inicialização como 'Automatic' corrigiu o problema.
Não sei por que funciona para um usuário administrador mesmo sem o serviço em execução.