Isso realmente não poderia ser mais simples no Ubuntu. Primeiro abra uma janela de terminal:
Aplicações - > Acessórios - > Terminal
depois, na janela que aparece, digite:
user@computer:~$ sudo apt-get install groovy
Digite sua senha quando ela for solicitada e digite Y
quando ela perguntar se você deseja continuar.
O Groovy fará o download, juntamente com todos os seus requisitos (incluindo Java) e será instalado automaticamente.