Com a ajuda de esta página , agora tenho a solução que é a seguinte.
$ su
password:
$ xauth list
peter-aspire-ubuntu/unix:0 MIT-MAGIC-COOKIE-1 1978485c4f8d864503a4e645c77fd802
peter-aspire-ubuntu:0 MIT-MAGIC-COOKIE-1 1978485c4f8d864503a4e645c77fd802
$ DISPLAY=peter-aspire-ubuntu:0
$ export DISPLAY
$ cp /home/peter/.Xauthority /root/.Xauthority
cp: overwrite '/root/.Xauthority'? y
$ xmessage now
O resultado é o pretendido e atende a todos os cenários descritos na minha pergunta.
Obrigado a todos que participaram.