mintty não pode chamar diretamente cd porque esse é um comando interno do respectivo shell. O que você realmente quer é iniciar um shell no diretório correto.
Não sei sobre o NetBeans ou o QuickOpener, mas contanto que currentFolder contenha um caminho absoluto do Windows, o seguinte deve funcionar:
C:\cygwin\bin\mintty /bin/sh -lc 'cd "$(cygpath "$currentFolder")"; exec bash'
Isso executa um shell de login adequado que altera o diretório e, em seguida, se substitui por bash .