Você pode encontrar as sessões em (onde ~
representa o diretório pessoal do usuário):
~/.putty/sessions/
Cada sessão é um arquivo nesse diretório, portanto, você pode copiar o diretório inteiro ou apenas sessões individuais.
EDIT: Arquivos de chave privada, se usados, não são armazenados nos arquivos de sessão, então eles também precisarão ser copiados de sua localização original.