Por padrão, as execuções bash não interativas não carregam arquivos de inicialização, como .bashrc ou o destino da sua opção --rcfile . Conforme descrito na página man :
An interactive shell is one started without non-option arguments and without
the -c option whose standard input and error are both connected to terminals
... or one started with the -i option.
Assim, você pode obter o comportamento desejado, forçando bash a agir como um shell interativo com -i :
bash --rcfile .mybashrc -ci 'echo $FOO'