Alguns qualificadores se aplicam, no caso de você atualizar componentes que dependam de um kernel mais novo (do que o seu host OpenVZ fornece).
Em princípio, isso significa que alguma coordenação com o hospedeiro pode ser necessária. Por exemplo. seria imprudente atualizar 14.04 - > 16.04 sem verificar se o host iria suportá-lo.
Caso contrário, não. É responsabilidade do contêiner aplicar as atualizações de segurança. A hospedagem que informa a você para não executar o mecanismo de atualização de segurança fornecido seria inadequada para uso da Internet.