Até onde eu sei (e acabei de executar o modo de navegação anônima para verificar isso, embora as coisas possam ter mudado desde que a pergunta foi postada), você não pode ver o que os cookies estão mantendo no modo Incognito - os que você vê nesse diálogo aqueles que você tinha antes de executar o modo de navegação anônima.
Como os dois devem estar separados, um modo não excluirá os cookies do outro modo, mesmo se você visitar o mesmo site , ou seja, se você for ao Twitter (ou se houver um widget do Twitter em uma página) na navegação normal, você pode pegar um cookie do Twitter, mas o modo de navegação anônima não o removerá se você o lançar mais tarde e, posteriormente, fechá-lo.
Se você ainda puder reproduzir esse problema, certifique-se de não ter nenhuma extensão que possa estar causando a criação desse cookie e de que suas páginas iniciais não possuam nenhum widget do Twitter.
(Eu tive um problema semelhante em que "Manter dados locais somente até que eu saia do meu navegador" não funcionou para mim, porque uma das minhas extensões estava mantendo o navegador aberto. Desabilitando essas extensões ou "Continuar executando aplicativos em segundo plano quando o Google Chrome está fechado" deve corrigir esse problema.