Se tee não pode fazer alguma coisa, canalize-o para um programa que faz. moreutils tem uma ferramenta chamada ts
cuja finalidade é exatamente esta:
$ echo test | ts Feb 02 13:17:27 test
Se você quiser registrar o tempo em tudo , o uso deve ser óbvio:
myapp | ts | tee app.log
Outras combinações são possíveis; por exemplo, para marcar apenas a saída de tela ou apenas o arquivo de log:
myapp | tee app.log | ts
myapp | tee >(ts > app.log)
myapp | tee /dev/tty | ts > app.log
myapp | pee "ts > app.log" "cat"
myapp | pee "cat > app.log" "ts"
(Sim, esse último também é de moreutils.)