Você pode simplesmente criar outro diretório no diretório log e dar a propriedade www-data:
sudo mkdir /var/log/testapp
sudo chown www-data:www-data /var/log/testapp
/var/log/testapp
agora pode ser escrito por www-data, então no script iniciante você teria:
exec node /var/testapp/app.js >> /var/log/testapp/app.log 2>&1