Eu finalmente encontrei uma resposta para essa pergunta,
nas configurações da conta do Thunderbird, em Cópias e amp; Pastas, desmarque "colocar uma cópia" e, em "BCC, esses endereços de e-mail", coloque seu próprio endereço do Gmail lá.
Em seguida, acesse sua conta do Gmail, na parte superior, clique em "Criar um filtro" com essas configurações, "De" é igual ao seu próprio endereço, clique em Próximo, marque essas opções "Ignorar a caixa de entrada" e "Aplicar o marcador [ Imap / Sent] ".
Isso deve replicar o email enviado na sua caixa de envio, sem precisar enviá-lo duas vezes. :)