Provavelmente, o shell que o cron usa não suporta o operador de redirecionamento de taquigrafia &>>
que o Bash suporta.
Você deve usar o formulário portátil que é suportado no shell Bourne e em outros:
* * * * * /home/user/script >> /home/user/log.txt 2>&1
Isso diz "anexar a saída padrão (descritor de arquivo 1) ao arquivo e enviar erro padrão (descritor de arquivo 2) para o mesmo local".
E você não precisa de citações.