Os próprios atalhos podem ser encontrados nas seguintes pastas:
%AppData%\Microsoft\Internet Explorer\Quick Launch\User Pinned\TaskBar
%AppData%\Microsoft\Internet Explorer\Quick Launch\User Pinned\StartMenu
Seu pedido é armazenado no seguinte valor REG_BINARY:
HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Windows\CurrentVersion\Explorer\Taskband\Favorites
Não acho que seja fácil editar a ordem diretamente. O que você pode fazer é enumerar todos os atalhos fixados e desafixar eles, então defina o que você quer na ordem necessária.