Você tem várias opções para conseguir isso.
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Seu roteador Linksys provavelmente será um proxy DNS a ser consultado por seus computadores locais para resolução de endereços da Internet, mas não para a resolução de nomes locais. Você provavelmente terá a chance de usar outra imagem em seu roteador como DD-WRT ou algo assim, que vem com um servidor DNS para a rede local.
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Escolha uma das suas máquinas para ser o servidor DNS local, mas isso requer que a máquina funcione 24 horas por dia, 7 dias por semana.
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Edite o arquivo hosts em cada máquina. Isso só funcionará se você usar endereços estáticos em casa ou nunca expirar concessões em seu roteador Linksys.
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Use Zeroconf, Bonjour ou qualquer implementação que você goste para conseguir isso.