I tested the input pins against the GND pin, and found out two of them (pins 4 and 11), which should be N/C (so, probably pulled up), are exactly at GND's level.
Você está correto, puxando os pinos 4 e 11 baixo é como as telas VGA informam ao host em que estão conectadas. Seu laptop deve puxar fracamente esses pinos HIGH para que este mecanismo de detecção funcione. Puxá-los BAIXO é consistente com o problema que você está tendo.
I've tried shorting pins 11 and 4 to pin 12, but nothing happened.
O pino 12 é basicamente uma linha de dados i2c, o que significa que ele é frouxamente puxado ALTA em ambos os lados, e cada lado pode puxar BAIXO para se comunicar. Conectá-lo aos pinos 11 e 4 provavelmente também atrai o pino 12 LOW.
Então, algo está quebrado no seu laptop. Muito provavelmente o IC conectado ao plugue VGA foi danificado, resultando em um bloqueio nos sinais conectados aos pinos VGA 11 e 4. Não tente puxar esses pinos HIGH com um sinal strong (ou seja, conecte-os a + 5V sem um resistor ), pois isso provavelmente irá fritar completamente o IC danificado. Note que as fichas fechadas tendem a piorar com o passar do tempo, porque elas costumam superaquecer.
Sem precisar substituir o adaptador de vídeo (se ele é substituível em seu laptop) duvido que seja possível reparar seu laptop em casa, sem equipamento especial para solda BGA e um bom esquema.