Eu tive o mesmo problema. Minha solução foi: Desinstalar o cliente Dropbox existente do Ubuntu Software Center e instalar a versão do cliente no site do Dropbox ( link ).
Eu uso o Ubuntu 13.10 e desde ontem meu cliente Dropbox não funciona mais. Uma reinstalação (do Centro de Software) não ajudou. Após cada inicialização do Ubuntu, o cliente solicita minha senha de administrador, mas nada acontece.
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