Ao usar o redirecionamento dentro do comando para parallel , você tem que usar {} para colocar a entrada no lugar certo, como parâmetro para sed :
echo "$z" | parallel 'sed "s/\(^3.*3\)//" {} > {//}/result.txt'
Além disso, se {//} (ou qualquer outra string de substituição) for usada, parallel não anexará a entrada no final do comando automaticamente. (Nesse caso, isso seria errado de qualquer maneira, como seria após o redirecionamento.)
Essencialmente, o código da pergunta é executado
sed "s/(^3.*3\)//" > ./result.txt
mas precisa ser
sed "s/(^3.*3\)//" ./input.txt > ./result.txt