Eu finalmente consegui resolver isso, apagando manualmente alguns arquivos do Dropbox que não estavam sendo limpos quando a desinstalação ocorreu. Eu acho que a presença de um desses arquivos indicava que uma operação de movimentação deveria estar ocorrendo, e isso estava causando o travamento do Dropbox.
Eu tive que usar o Process Explorer para matar um processo que estava segurando um identificador aberto para um dos arquivos do Dropbox, a fim de fazer tudo isso funcionar corretamente.
Escrevi uma explicação completa com as etapas da minha resolução aqui: