Sim, funcionará imediatamente, os 2 DVIs e HDMI são todos digitais. Você não precisa de nenhum adaptador. Você também pode configurar a área de trabalho não esticável. Todas as suas necessidades são tratadas por qualquer sistema operacional por padrão nos dias de hoje, seja Windows ou Linux.
Considerando que a Radeon HD 7870 possui uma entrada de áudio, uma vez que você conecta o áudio à sua placa gráfica, o HDMI emitirá som e será exibido na sua TV. Isso pode desativar o som nos alto-falantes / fones de ouvido quando o som estiver chegando dos alto-falantes da TV