Eu não usei o Dropbox no Linux, mas o usei dentro de máquinas virtuais. Isso deve funcionar desde que você defina o adaptador de rede da VM para o modo "Bridged". Sua máquina virtual e sua máquina física devem estar na mesma sub-rede, com endereços IP semelhantes, ou seja, ambos 192.168.0.x, mas ambos com endereços MAC diferentes . Então eles devem ser capazes de encontrar um ao outro e fazer a sincronização da LAN.
Se você alterou o endereço MAC da VM depois de instalar o SO, pode ser que você esteja com o problema explicado neste tópico:
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Com o adaptador configurado para o modo de ponte e um endereço MAC exclusivo para a VM, tente executar ifconfig na VM. Veja se a interface ethernet existe e se a VM possui conectividade com a internet. Caso contrário, deixe o endereço MAC exclusivo como está e tente a solução desse encadeamento. Parece que esse é o seu problema, já que você diz que a VM agora não tem acesso à Internet.
O objetivo é colocar sua VM na mesma sub-rede que a máquina física. O modo em ponte é a configuração do adaptador que você precisa, pois se estiver usando o modo NAT, a máquina virtual é colocada em uma sub-rede diferente da máquina física e o software do Dropbox pode não reconhecer que está na mesma rede física.