Você pode definir seu grupo de segurança de banco de dados para permitir o acesso de "Grupos de segurança do EC2" específicos ou "intervalos de IP do CIDR".
Visite este URL para explorar mais:
Bem, você já mencionou isso, você permitiu o acesso ao 'EC2 Security Group'. Consulte o URL acima e verifique se você fez corretamente.
Se isso não ajudar, tente dar acesso ao intervalo de IP do CIDR (a URL acima também ajudará você).