Normalmente não é assim que funciona. As chaves de licença estão vinculadas a edições específicas do Windows. A chave de licença do laptop está vinculada a uma versão específica do Gateway OEM, que normalmente você não pode simplesmente baixar ou trocar com uma cópia independente comprada em loja. Este último, presumivelmente, sendo aquele que você tentou sem sucesso instalar.
Isso significa que se você comprar uma cópia independente do Windows (uma que seja "sem marca" e não um OEM), será possível instalá-la e ativá-la sem problemas. Dito isso, você deve ser capaz de ativar a instalação do Windows 7 com a chave que acompanha a sua cópia comprada no laptop Gateway, mas não com a que você encontraria no adesivo da chave de licença no próprio laptop.
Você pode ativar usando a chave que veio com a cópia que você instalou agora, comprar uma nova cópia do Windows 10 ou comprar uma cópia do Windows 7 ou 8 e usar o programa de atualização gratuito.