What could I do to get the server back working?
Suas regras de firewall são muito restritivas, elas proíbem respostas adequadas às suas próprias consultas. Adicione isto,
iptables -A INPUT -m conntrack --ctstate ESTABLISHED,RELATED -j ACCEPT
que deve permitir que as consultas DNS deixem seu sistema respondido.
Estritamente falando, para o DNS funcionar, você precisaria permitir apenas respostas na porta UDP53, mas ainda assim não receberia nenhuma resposta em todas as conversas que iniciasse. Portanto, essa regra mais ampla permite respostas a consultas DNS e respostas a solicitações de páginas http, por exemplo.