O DHCP (Protocolo de Configuração Dinâmica de Host) é um método de entrega automática e recuperação de endereços IP não utilizados (e outras configurações, como disse techie007), em vez de configurá-las estaticamente. Configurá-los estaticamente se torna um pesadelo para rastreá-los em uma rede grande, de modo que isso foi desenvolvido para aliviar essa carga de gerenciamento.
O DHCP obtém um endereço IP (pelo menos, a máscara de sub-rede e o gateway padrão), que é MUITO específico para a sua rede local e, portanto, deve ser exatamente correto, e ÚNICO para a sua rede. Esse endereço IP permite que você se conecte a outros sistemas, tanto localmente quanto na Internet.
DNS é para resolução de nomes, ou seja, a conversão de www.microsoft.com (por exemplo) em um endereço IP ao qual seu sistema pode se conectar. Existem centenas de milhares, talvez milhões, de servidores DNS por aí que podem fornecer essa informação.
A maioria das pessoas usa o que seus provedores lhes deram, mas tecnicamente é possível obter informações de endereços IP convertidos de praticamente qualquer servidor DNS, para que você possa selecioná-las à vontade, diferente do endereço IP específico dado a você por DHCP Na verdade, muitas pessoas usam os servidores DNS públicos do Google: 8.8.8.8 e 8.8.4.4, pois são muito robustas.
Ao contrário do seu endereço IP, que é apenas para o seu UM computador, qualquer número de pessoas pode acessar o mesmo servidor DNS.
Uma última ressalva: para quem estiver lendo isso, se você estiver em um domínio da Microsoft ou em outro ambiente corporativo, não será necessário substituir essas configurações. Seu computador precisa do servidor DNS interno para resolver hosts em sua rede interna.