Para compartilhar mídia com meus dispositivos Android, eu uso o ES File Explorer (e há outras opções) para se conectar a um compartilhamento de rede em uma máquina Linux. Esta é a opção mais simples, porque você só precisa configurar um compartilhamento de arquivos no servidor e executar um navegador de arquivos no dispositivo móvel.
Os vídeos podem ser visualizados em um aplicativo como o Dice Player ou o MX Player. Ambos permitem jogar diretamente do compartilhamento sem baixar o arquivo.
Se você quer uma experiência mais refinada, pode procurar algo como o XBMC ou o Plex. Você terá que configurar o software do servidor e instalar um aplicativo no seu dispositivo, mas terá uma experiência mais agradável (olhando para uma biblioteca de mídia em vez de procurar arquivos). O Plex tem a opção de transcodificação on-the-fly no servidor. Dependendo do tipo de uso que você espera, essa pode não ser a melhor opção para um servidor leve.