Você tem duas opções principais (supondo que você queira usar o grub e não o windows one como seu bootloader).
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Diga ao Mint não para instalar um gerenciador de inicialização. Dessa forma, seu Ubuntu Grub permanecerá intocado. A primeira vez que você reiniciar após instalar o Mint, você não verá uma entrada para ele, você terá que inicializar no Ubuntu, executar
update-grub2
para detectá-lo e então reiniciar novamente. -
Como alternativa, você pode optar por instalar o grub a partir do Mint, caso em que sobrescreverá o seu gerenciador de inicialização original. Se você não fez nenhuma alteração específica que você não quer perder para o seu Ubuntu, isso deve ser bom. O grub Mint deve reconhecer o Windows e o Ubuntu e configurá-los corretamente.