Para responder sua segunda parte, é bem fácil. Em vez de log.log, use o seguinte:
log'date '+%Y-%m-%d''.log
Preste especial atenção que existem 'backticks' que envolvem o comando date. Isso diz ao shell para executá-lo primeiro e colocar os resultados em sua linha de comando para torná-lo parte de seu nome de arquivo.