O que eu acho que está acontecendo é isso. Por favor, corrija-me se estiver errado.
mysite.com tem endereço IP público
mysite.com é traduzido para o endereço IP interno pelo seu firewall para um endereço RFC1918 interno (192.168.35.211)
Quando você está na sua rede local, você pode acessar 192.168.35.211, mas não mysite.com?
Esse é um comportamento normal, pois o firewall ou o dispositivo que executa a conversão de endereços não pode reter o tráfego através dele, portanto, o pacote sai, mas eles nunca voltam.
Uma maneira normal de contornar isso é usar a zona dns split horizon. IE dentro mysite.com resolve 192.168.35.211, fora resolve para o seu ip publico. Ou você usa o nome interno ( link ou algo semelhante ..)
O mesmo acontece na VPN, já que você não pode acessar os recursos públicos, já que o gateway padrão é provavelmente configurado na conexão vpn. Mudando isso é até o seu administrador de rede (ou se você tem controle, você pode desmarcar usar o GW padrão na rede remota, e manualmente definir rotas para a rede do seu escritório).
Mas se as suposições acima estiverem corretas, seu problema está relacionado à rede e não relacionado ao IIS.