O problema é mais provável que o prompt de comando do windows interprete as aspas simples e duplas de maneira diferente, não tenha nada a ver com o curl.
Tente reverter as aspas duplas e simples na seção JSON:
curl -H "Content-Type: application/json" -X POST -d "{ 'entity_id': 'switch.study_cam' }" https://192.168.1.99:8123/api/services/switch/turn_off?api_password=MyAPIPassword --insecure