O cmdlet Start-Process assume que o primeiro parâmetro ( -FilePath , especificamente) é apenas o nome do arquivo do programa a ser executado. É por isso que você estava recebendo erros "não é possível encontrar o arquivo especificado". A opção -ArgumentList foi projetada para passar parâmetros. Portanto, isso deve fazer o que você deseja:
powershell -Command "Start-Process 'cmd' -Verb RunAs -ArgumentList '/c calc && exit'"
Observe que talvez você nem precise da parte && exit em algumas circunstâncias.