Nem todas as compilações do OS X v10.7 são semelhantes. O que foi originalmente enviado pela Mac App Store foi o 11A511, mas o que o seu Mac mini fornecia - e requer como versão mínima - era o 11A2061. Seria interessante saber qual versão do 10.7 você baixou da Mac App Store. Se foi 10.7 [.0] 11A511, então seus resultados não são nenhuma surpresa. Se foi 10.7.1 ou qualquer coisa posterior, então eu estou surpreso que você não possa iniciar a partir dele. Se você realmente fez o download exatamente há 6 meses, você deve ter 10.7.1. Mas se você baixou em julho ou início de agosto, você provavelmente tem 10.7 11A511.
A propósito, o que exatamente você gravou no DVD? Você usou o InstallESD.dmg de dentro do pacote de aplicativos "Instalar o Mac OS X Lion"?
Se acontecer de você ter o 10.7 11A511 original, não será possível fazer o Mac mini inicializar a partir dele. Se você tiver outro Mac disponível para você, poderá ver se consegue encontrar uma maneira de baixar novamente o Lion da Mac App Store, porque o que você faria agora seria 10.7.3.
Se você quer apenas que o Lion seja reinstalado e não exija especificamente fazê-lo do DVD, por favor, note que o seu Mac mini é provavelmente novo o suficiente para ter um firmware EFI que suporte Opção de recuperação baseada na Internet da Apple . Basta ligar o seu Mac mini a uma conexão de Internet de banda larga e mantenha pressionado o Comando + R na inicialização e ele tentará a recuperação da partição de recuperação no disco rígido local se houver é um, e mude para a recuperação baseada na Internet de outra forma. Se você não tiver uma conexão Ethernet, não se preocupe, há uma maneira de fazer com que ela se una a uma rede Wi-Fi, contanto que sua rede não exija autenticação de nível empresarial.