Você pode escolher Lubuntu ou Xubuntu. Mas eu não tenho certeza se a instalação final vai caber em 1 GB, então você poderia usar Lubuntu instalação mínima ou xubuntu-core (eu pessoalmente prefiro xubuntu-core). Para fazer isso você tem que baixar o mini.iso disponível no site do Ubuntu, aqui:
O mini.iso é um sistema ao vivo para instalação do Ubuntu baseado em texto. São cerca de 40 MB. Você pode gravá-lo em um CD ou USB e inicializar a partir dele. Siga as instruções no link acima, escolha o seu stick USB para ser usado como o sistema de arquivos raiz e uma base para o Ubuntu será instalado nele. Não instale nenhum pacote extra no final da instalação mínima.
Agora você tem um sistema Ubuntu sem núcleo (sem ambiente gráfico) dentro de seu pendrive. Inicialize a partir dele e você será descartado em uma linha de comando. De lá você pode rodar 'sudo apt-get install lubuntu-core' para uma versão mínima do Lubuntu ou 'sudo apt-get install xubuntu-core ^' (não esqueça o ^) para uma versão mínima do Xubuntu. Lubuntu vai deixar você com mais espaço para programas adicionais; Por outro lado, o Xubuntu tem mais recursos e personalização, mas você terá apenas alguns MBs para usar. A decisão é sua.
Lembre-se: as versões "principais" do Lubuntu / Xubuntu não possuem nenhum programa além do Ambiente Desktop, um Gerenciador de Arquivos, um Terminal e algumas configurações. Você terá que instalar outros programas (como navegadores da web, centros de software e players de mídia) na linha de comando.
EDIT: parece que você gostaria de ter o Unity. Você poderia tentar 'sudo apt-get install --no-install-recomenda o ubuntu-desktop' na linha de comando para obter apenas o ambiente Unity desktop, mas não tenho certeza se ele se encaixará em 1 GB. Você pode tentar, e se não houver espaço suficiente, basta formatar o seu pendrive e começar de novo, usando o xubuntu-core ou o lubuntu-core. Por favor, conte-nos sua experiência.